A公司仍要承担支付双倍工资的责任。

根据《劳动合同法实施条例》第6条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资”，因此，用人单位支付双倍工资的认定标准是用人单位未与劳动者订立书面劳动合同的事实，而不是没有签订劳动合同的过错在于谁。

本案中，A公司确实存在未与蒋某订立书面劳动合同的事实，所以A公司应当向蒋某支付双倍工资。因此，用人单位为了避免造成不必要的损失，应当及时采取措施。根据《劳动合同法实施条例》第5条的规定：“自用 工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿，但是应当依法向劳动者支付其实际工作时间的劳动报酬。” 所以，用人单位最好是能够书面通知劳动者签订劳动合同，当知悉劳动者拒签合同时，应当向劳动者发放书面解除劳动合同的通知，终止劳动关系。 建议：在每种通知的后面附上回执联，劳动者将说明自己意向的并签有自己名字的回执联交付给用人单位，用人单位归档，以备日后发生劳动纠纷作为证据使用。